Quanto segue è tratto da Bernardi, L. (2022). Bul Game: Playing With Knights and Knaves. In C. A. Huertas-Abril, E. Fernández-Ahumada, & N. Adamuz-Povedano (Eds.), Handbook of Research on International Approaches and Practices for Gamifying Mathematics (pp. 170–188). IGI Global.

Prima di approfondire il discorso sulla correttezza del gioco, cominciamo con una precisazione: quando, per esempio, il cavaliere dice "Il percorso continua non premendo A", a priori anche il non premere alcun tasto è un'azione corretta. Nel gioco c'è quindi il tacito accordo che sia obbligatorio ad ogni turno premere A oppure B (i.e. A aut B).

Il discorso più tecnico riguarda invece le frasi in cui compare un'altra condizione, cioè del tipo "if X then Y else Z". Per quanto detto prima, Z è sempre del tipo ¬Y. Questo fa sì che dire "if X then Y else Z" equivalga a dire "X iff Y", i.e. X ↔ Y. Sia ora K una variabile per personaggi (più precisamente, K indica che chi parla è un cavaliere) e sia P una qualsiasi affermazione. Se un personaggio afferma P è sempre verificato K ↔ P. In particolare, nel gioco, P = X ↔ Y. Abbiamo quindi che ogni turno del gioco può essere riscritto come K ↔ (X ↔ Y). Quindi se K non è verificata, i.e. chi parla è un furfante, allora anche X ↔ Y deve essere falsa, cioè i valori di verità di X e Y devono essere diversi. Se invece chi parla è un cavaliere, K è verificato e quindi i valori di verità di X e Y devono coincidere. Per approfondire il discorso e tendere ai teoremi di Godel, consigliamo la lettura del libro Forever Undecided di Raymond Smyullyan (Knopf, 1987).